谢谢邀请。
看了前面的两个回答，觉得回答方向不太对。
我认为这个题干要问的是关于小说《西游记》的作者之争，而非世代累积性造成的“非一人独立写成”问题（前两个回答雷同了，都在不惮其烦地叙述《西游记》的成书问题，似与本问答无涉）。
也就是说，题干里的《西游记》，就是指在元明以后逐渐定型的长篇章回体通俗小说《西游记》。“《西游记》究竟是谁写的”这个问题，指向的就是小说作者之争的学术公案，也就是《西游记》作者研究的学术史。
这就导致了作者考证的繁多与争论的扩大。据竺洪波先生考证，从清初汪象旭考证《西游记》作者为长春真人以来，三百多年间考证出的《西游记》作者多达近十人，大有追赶《金瓶梅》作者研究数量之势。而吴承恩，是这些人选中相对最“像”的一个，却也是争议热度最大的一个，更是“运气最好”的一个——因为即便面对着颠覆性的质疑，依然因为“历史问题”而保留在小说封皮上。
二、汪象旭首先提出《西游记》的作者是长春真人丘（邱）处机。汪象旭是清初《西游证道书》的笺评者。他认为《西游记》是一部道教经典，大旨在于演绎“金丹大道”，在这一“证道”说的驱使下，他怀着炽热的护教之心对此做了考证。
汪象旭的这一“功绩”，后来被乾嘉学者钱大昕、段玉裁等识破，告以失败。
三、鲁迅、胡适等人最初考证出《西游记》作者为吴承恩。上世纪二十年代，鲁迅、胡适等人开始考证几大名著作者问题。
而后胡适推而广之，扩充了相关载述文献。董作宾、赵景深、刘修业、日本学者小川环树等人继之，提供了更多有关吴承恩的材料，从内证和外证上对其生平考证渐次详细。吴承恩说逐渐深入人心。各家出版小说、拍摄电视剧都冠名以吴，如86版电视剧就标明“吴承恩原著”。
质疑吴承恩说者，代表人物为章培恒。他在《百回本<西游记>是否为吴承恩所作》一文中提出了有力的质疑，原文论述很精彩，其论据大致有以下几点：
1.《淮安府志》所记《西游记》未标明卷、回数，不能确定是小说。2.在《千顷堂书目》中，《西游记》著录于“史部地理类”，可能是游记而非小说。3.古代史志的惯例，是不会收录通俗小说作品的，《淮贤文目》等著录可疑。4.不论从内证（语言风格、内容反映），还是外证（史志记载，历代考证），都无法将目前已知的吴承恩情况与小说《西游记》文本完全契合。不能完全排除所见著录为游记而非小说。吴承恩说的相关考证，有“先预设吴承恩为作者”之后再予以循环考证的逻辑谬误。证据与结论之间无法建立“充要”关系。
除了丘处机、吴承恩两大主流观点外，还有一些持他说者，多缺乏说服力，或证据不足，或逻辑谬误，或索隐荒诞。简要列举一些：
1.认为作者是“华阳洞天主人”李春芳，以沈承庆等人为代表。2.认为作者是茅山道士闫希言师徒。以胡义成为代表。……这些考证虽然在今天看来问题百出，当时却引发了不小的波澜。
所以，“《西游记》究竟是谁写的”，你看明白了吗？拙文参考了竺洪波先生的相关成果，避繁就简，省去了很多论证过程，欢迎大家留言讨论。
