先明确定义：将 整数集 记为 Z，对于 任意 整数 a, b ∈ Z (b ≠ 0)，如果存在 整数 c ∈ Z 使得 a = bc，则称 b 整除 a，记为 b | a，并且称 b 是 a 的 因数（也叫做 约数 或 除数），a 是 b 的 倍数。
于是，对于任何一个 整数 a ∈ Z (a ≠ 0)，显然有 a · 1 = a，(-a) · (-1) = a，我们称 ±a 和 ±1 为 a 的显然因数。
故，在整数范围内考虑，一个非零整数 a（≠ ±1） 的因数至少有 4 个，即，a 的显然因数：a 、1、 -1 和 -a，而 ±1 只有两个因数 1 和 -1。
进而，在 正整数范围 内考虑，一个正整数 a（≠ 1） 的因数至少有 2 个，即，a 和 1，而 1 时 只有 它自己 1个因数。
那么，一个正整数的正因数具体有几个呢？
为了回答这个问题，我们需要引入素数的定义：对于 任意整数 p ∈ Z (p ≠ 0, ±1)，如果 p 除了显然因数外没有其它因数，则称 p 为 素数（也称 质数 或 不可约数），否则 称 p 为 合数（也称 可约数）。
由于 整数集 Z 关于 0 是对称的，因此我们只需要研究清楚 正整数集 Z₊，负整数集 Z₋ 就自然清楚了。于是：以后 素数 和 合数 默认特指 大于 1 的 正整数。
在《初等数论》中有一个非常重要的定理，称为 算术基本定理：对于任意 正整数 n ∈ Z₊ (a > 1) ，必然有，
n = p₁p₂...pᵣ
其中 pᵢ( i = 1, 2, ..., r) 皆为素数，并且在便考虑顺序的情况下，这个素因数分解式唯一。例如：
108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3
显然，素因数 会有重复，于是我们将 上面的 素因数分解式 改写为：
n = p₁ᵃ¹p₂ᵃ²...pᵣᵃʳ，(p₁< p₂ <... <pᵣ) ⑴
称为 a 的 标准素因数分解式。例如：
108 = 2² · 3³
任意给定一个 正整数 n(> 1) ，n 的 正因数个数，记为 τ(n)，称 τ(n) 为 除数函数。
考虑 n 的 标准素因数分解式 ⑴ ，可分为下面的组：
1, p₁, p₁², ..., p₁ᵃ¹ (共 a₁ + 1 个）
1, p₂, p₂², ..., p₂ᵃ² (共 a₂ + 1 个）
...
1, pᵣ, pᵣ², ..., pᵣᵃʳ (共 aᵣ + 1 个）
显然，n 的每个因数，就是从上面每组里任意选择一个数，然后将它们连乘的结果，所有肯能结果的个数是：
(a₁ + 1)(a₂ + 1)...(aᵣ + 1)
这就是 τ(n)，即，
τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)...(aᵣ + 1) = ∏ʳᵢ₌₁ aᵢ + 1
例如：
τ(108) = (2 + 1) · (3 + 1) = 12
又引入定义：对于 任意正整数 n, m ∈ Z₊，若 存在 正整数 a ∈ Z₊ 满足 a | n 并且 a | m 则称 a 是 n 和 m 的 公因数（也称 公约数），将 n 和 m 的所有 公因数 中 最大的那个 称为 最大公因数，记为 (n, m) 或 gcd(n,m)。
如果 (n, m) = 1，则称 n 和 m 互素（或 互质）。例如：
108 和 49 互素：49 = 7²，(108, 49) = 1
108 和 9 不互素：9 = 3²，(108, 9) = 9
进一步观察我发现性质： 当 n 和 m 互素，即， (n, m) = 1 时，有 τ(nm) = τ(n)τ(m)。
例如：
108 · 49 = 2² · 3³ · 7²
τ(108 · 49) = (2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 36
τ(49) = (2 + 1) = 3
τ(108 · 49) = 36 = 12 · 3 = τ(108) · τ(49)
而 当 (n, m) ≠ 1 时，上面的性质不成立，例如：
108 · 9 = 2² · 3⁵
τ(108 · 9) = (2 + 1)(5 + 1) = 18
τ(9) = (2 + 1) = 3
τ(108 · 9) = 18 ≠ 36 = 12 · 3 = τ(108) · τ(9)
定义：如果 数论函数 f 满足，
f(nm) = f(n)f(m)，(n, m) = 1
则称 f 是积性函数。
注：积性函数 是 最重要的 数论函数，在 Mobius 变换 中起到重要作用，以后有机会 给大家介绍。
τ(n) 显然 就是 积性函数。
顺便：在初等数论中，还定义了 除数和函数 σ(n) ，它的值为 正整数 n(>1) 的 所有正因数之和，根据上面的经验知下面的展开式的项，包含 n 的所有正因数：
(1 + p₁ + p₁² + ... + p₁ᵃ¹)(1 + p₂ + p₂² + ... + p₂ᵃ²) ... (1 + pᵣ + pᵣ² + ... + pᵣᵃʳ)
因此，
σ(n) = (1 + p₁ + p₁² + ... + p₁ᵃ¹)(1 + p₂ + p₂² + ... + p₂ᵃ²) ... (1 + pᵣ + pᵣ² + ... + pᵣᵃʳ)
= ((p₁ᵃ¹⁺¹ - 1) / (p₁ - 1))((p₂ᵃ²⁺¹ - 1) / (p₂ - 1))...((pᵣᵃʳ⁺¹ - 1) / (pᵣ - 1))
=∏ʳᵢ₌₁ (pᵢᵃⁱ⁺¹ - 1) / (pᵢ - 1)
如果是在 有理数域 Q 上考虑题主的问题呢？
对于 有理数集 Q 中任意 一个非零 的 数 x(≠0) 必然存在 x 的倒数 x⁻¹ = 1，因此 对于 任意 有理数 y ∈ Q，y ≠ 0，必然有：
y = yx⁻¹ · x
根据 上面 因数的 定义 非零的 x 是任何非零 y 的 因数。
故，在有理数范围内考虑，一个非零有理数 x 的因数必然有 |Q\{0}| = ℵ₀ 个。
注： A \ B 是差集运算，即，从 集合 A 中 除去 集合 B 中包含的元素。
对于 实数域 R 和 复数域 C 和 有理数域 Q 类似，于是有：
在实数 或 复数 范围内考虑，一个非零实数 x 或 非零复数 z 的因数必然有 |R\{0}| = ℵ₁ 或 |C\{0}| = ℵ₁ 个。
注: |A| 表示 集合A 中 的元素个数。对于无限集合，我们用 ℵ₀, ℵ₁, ... 来区别表示它们的元素个数，其中 只有 ℵ₀ 是可列的。
最后，考虑 一下 0 的因数。
根据 因数定义，0 不是任何 数的因数，而又因为 任何数 x 乘以 0 都是 0，即，
0 = x · 0
所以，任何非零数 x 都是 0 的因子。
故，分别在 整数、有理数、实数、复数 范围内，0 的因子数分别是 |Z\{0}| = ℵ₀ 、 |Q\{0}| = ℵ₀、 |R\{0}| = ℵ₁ 、 |C\{0}| = ℵ₁ 个。
（由于本人水平有限，以上回答题主和大家仅供参考，另外，也欢迎各位老师批评指正。）
